LaTex 数学表示示例 |

Intro.

记录数学符号、公式等LaTex格式，不间断更新。

涉及《Covenx Optimization／凸优化》、《矩阵论》、《随机过程》、《数理逻辑》。

数字符号

重音

\bar{a}
$$
\bar{a}
$$
\acute{a}
$$
\acute{a}
$$
\check{a}
$$
\check{a}
$$
\grave{a}
$$
\grave{a}
$$
\dot{a}
$$
\dot{a}
$$
\ddot{a}
$$
\ddot{a}
$$
\hat{a}
$$
\hat{a}
$$
\widehat{A}
$$
\widehat{A}
$$
\tilde{a}
$$
\tilde{a}
$$
\widetilde{A}
$$
\widetilde{A}
$$
\breve{a}
$$
\breve{a}
$$
\vec{a}
$$
\vec{a}
$$

希腊字母

Alphabet	LaTex Code	Alphabet	LaTex Code	Alphabet	LaTex Code
α	`\alpha`
β	`\beta`
γ	`\gamma`	Γ	`\Gamma`
δ	`\delta`	Δ	`\Delta`
ɛ	`\epsilon`			ε	`\varepsilon`
ζ	`\zeta`
η	`\eta`
θ	`\theta`	Θ	`\Theta`	ϑ	`\vartheta`
ι	`\iota`
κ	`\kappa`
λ	`\lambda`	Λ	`\Lambda`
μ	`\mu`
ν	`\nu`
ξ	`\xi`	Ξ	`\Xi`
o	`o`
π	`\pi`			ϖ	`\varpi`
ρ	`\rho`			ϱ	`\varrho`
σ	`\sigma`	Σ	`\Sigma`	ς	`\varsigma`
τ	`\tau`
υ	`\upsilon`	Υ	`\Upsilon`
φ	`\phi`	Φ	`\Phi`	ϕ	`\varphi`
χ	`\chi`
ψ	`\psi`	Ψ	`\Psi`
ω	`\omega`	Ω	`\Omega`

……

基本表达式

凸优化

例2.1 线性方程组的解集

$$
\begin{align}
A( \theta x_1 + (1 - \theta x_2) ) &= \theta Ax_1 + (1 - \theta) Ax_2 \\
&= \theta b + (1 - \theta) b \\
&= b
\end{align}
$$

\begin{align}
A( \theta x_1 + (1 - \theta x_2) ) &= \theta Ax_1 + (1 - \theta) Ax_2   \\
                                   &= \theta b    + (1 - \theta) b      \\
                                   &= b
\end{align}

例2.2 R³中处于(x₁, x₂)平面的一个正方形

$$
C = \lbrace x \in \mathbf{R}^3 \vert -1\leqslant x_1 \leqslant 1,\ -1\leqslant x_2\leqslant1,\ x_3=0 \rbrace
$$

1	C = \lbrace x \in \mathbf{R}^3 \vert -1\le x_1 \le 1,\ -1\le x_2\le1,\ x_3=0 \rbrace

例2.3 二阶锥是由Euclid范数定义的范数锥

$$
\begin{align}
C&=\lbrace (x,t)\in\mathbf{R}^{n+1}\mid \Vert x \Vert_2 \leqslant t \rbrace \\
&=\left\{
\left[\begin{matrix} x \\ t\end{matrix} \right]
\Biggm \vert \Biggm.
\left[\begin{matrix}x \\ t\end{matrix} \right]^T
\left[ \begin{matrix} I&0 \\ 0&-1\end{matrix} \right]
\left[\begin{matrix} x \\ t\end{matrix} \right]
\leqslant0,\ t\geqslant0
\right\}
\end{align}
$$

\begin{align}
C&=\lbrace (x,t)\in\mathbf{R}^{n+1}\mid  \Vert  x  \Vert_2 \le t \rbrace \\
&=\left\{
\left[\begin{matrix} x \\ t\end{matrix} \right]
  \Biggm  \vert \Biggm. 
   \left[\begin{matrix}x \\ t\end{matrix} \right]^T
  \left[ \begin{matrix}  I&0 \\ 0&-1\end{matrix} \right]
    \left[\begin{matrix}  x  \\ t\end{matrix} \right]
  \le0,\ t\ge0  
  \right\}
\end{align}

例2.4 非负象限

$$
\mathbf{R}^n_+=\{ x \in \mathbf{R}^n \ \vert\ x_i\geqslant0,\ i=1, \cdots ,n\}=\{x\in\mathbf{R}^n\vert x \succeq 0 \}
$$

例2.5 常见单纯形

单位单纯形

$$
x \succeq0, \qquad \mathbf{1}^T\leqslant1.
$$

概率单纯形

$$
x \succeq0, \qquad \mathbf{1}^T =1.
$$

例2.6 S²上的半正定锥

$$
X=\left[\begin{matrix}x &y \\ y &z \end{matrix} \right]\in \mathbf{S}^2_+ \iff x\geqslant0,\ z\geqslant0,\ xz\geqslant y^2.
$$

例2.7 半正定锥Sⁿ₊

$$
\bigcap_{x\not=0}\{X\in\mathbf{S}^n\vert z^TXz\geqslant0 \}.
$$

例2.8 集合

$$
S=\{x\in\mathbf{R}^m\vert \lvert p(t)\rvert\leqslant1\mbox{对于}\lvert t\rvert\leqslant\left. \pi \middle / 3 \right\}
$$

例2.9 多面体

$$
\{x\vert Ax\preceq b, Cx=d\}=\{x\vert f(x)\in\mathbf{R}^m_+\times\{0\}\}.
$$

例2.10 线性矩阵不等式的解

$$
A(x)=x_1A_1+\cdots+x_nA_n\preceq B
$$

例2.11 双曲锥

$$
\{x\vert x^TPx\leqslant(c^Tx)^2,c^Tx\geqslant0\}
$$

例2.12 椭球

$$
\mathcal{E}=\{x\vert (x-x_c)^Tp^{-1}(x-x_c)\leqslant1\}
$$

例2.13 条件概率

$$
f_{ij}=\mathbf{prob}(u=i\vert v=j)=\frac{p_{ij}}{\sum_\limits{k=1}^np_{kj}}
$$

例2.14 非负象限及分量不等式

$$
K=\mathbf{R}^n_+\qquad x\preceq_Ky \iff x_i\leqslant y_i, i=1,\cdots,n
$$

例2.15 半正定锥和矩阵不等式

$$
X\preceq_KY\iff Y-X\mbox{ 为半正定锥}
$$

例2.16 [0,1]上的非负多项式锥

$$
K=\{c\in\mathbf{R}^n\vert c_1+c_2t+\cdots+c_nt^{n-1}\geqslant0 \mbox{ 对于}t\in[0,1]\}
$$

例2.18 对称矩阵集合中的最小元和极小元

$$
\mathcal{E}_A=\{x\vert x^TA^{-1}x\leqslant1\}
$$

例2.19 子空间的对偶锥

$$
V^\perp =\{y\vert y^Tv=0,\forall x\in K\}
$$

例2.23 非负象限的对偶锥是其本身

$$
y^Tx\geqslant 0, \forall x \succeq0 \iff y\succeq0.
$$

例2.24 半正定锥生自对偶的

$$
\mathbf{tr}(XY)\geqslant 0,\forall X \succeq0 \iff y\succeq0.
$$

例2.25 范数维的对偶

$$
K^\ast=\{(u,v)\in\mathbf{R}^{n+1}\vert \Vert u\Vert_\ast\leqslant v\}
$$

例3.1 凸集的示性函数

$$
\begin{eqnarray}\tilde {I}_C(x)=
\begin{cases}
0 &x\in C\cr \infty&x\notin C \end{cases}
\end{eqnarray}
$$

例3.2 二次函数的凸性

$$
f(x)=(1/2)x^TPx+q^Tx+r
$$

例3.3 几何平均算术平均

$$
G(x)=\left(\prod^n_{i=1}x_i\right)^{1/n},\qquad A(x)=\frac1n\sum^n_{i=1}x_i
$$

例3.4 矩阵分式函数

$$
f(x,Y)=x^TY^{-1}x
$$

例3.5 分片线性函数

$$
f(x)=\max\{a^T_1x+b_1,\cdots,a^T_Lx+b_L\}
$$

例3.6 最大r个分量之和

$$
f(x)=\sum_{i=1}^r=\max\{x_{i_1}+\cdots+x_{i_r}\vert1\leqslant i_1<i_2<\cdots<i_r\leqslant n\}.
$$

例3.7 集合的支撑函数

$$
S_C(x)=\sup\{x^Ty \ \vert\ y\in C\}
$$

例3.8 到集合中最远点的距离

$$
f(x)=\sup_{y\in C}\Vert x-y\Vert
$$

例3.9 以权为变量的最小二乘费用函数

$$
g(w)=\inf_x\sum_{i=1}^nw_i(a^T_ix-b_i)^2
$$

例3.10 对称矩阵的最大矩阵值

$$
f(X)=\sup\{y^TXy \ \vert\ \Vert y\Vert_2=1\}
$$

例3.11 矩阵范数

$$
f(X)=\sup\{u^TXv\vert \Vert u\Vert_2=1,\Vert v\Vert_2=1\},
$$

$$
\Vert X\Vert_{a,b}=\sup_{v\not=0}{\frac{\Vert X_v\Vert_a}{\Vert v\Vert_b}}.
$$

例3.15 Schur补

$$
f(x,y)=x^TAx+2x^TBy+y^TCy,
$$

$$
\left[\begin{matrix}A &B \\ B^T &C \end{matrix} \right]\succeq0.
$$

例3.16 到某一集合的距离

$$
\mathbf{dist}(x,S)=\inf_\limits{y\in S}\Vert{x-y}\Vert.
$$